2002 年北京大学卫生综合简答题:2、相关系数与回归系数的区别跟联系

1．区别：①资料要求不同：直线回归分析中，若X为可精确测量和严格控制的变量，则对应于每个X的Y值要求服从正态分布；若X、Y都是随机变量，则要求X、Y服从双变量正态分布。直线相关分析要求服从双变量正态分布；②应用目的不同：说明两变量间相关关系用相关，此时两变量的关系是平等的；说明两变量间的数量变化关系用回归，用以说明Y如何依赖于X的变化而变化；③ 指标意义不同：r说明具有直线关系的两变量间相互关系的方向与密切程度； b表示X变化一个单位时Y的平均变化量；④计算不同：YYXXXYlllr/， XXXYllb/；⑤取值范围不同：−1≤r≤1，b；⑥单位不同：r没有单位，b有单位。  2．联系：①二者理论基础一致，皆依据于最小二乘法原理获得参数估计值；②对同一双变量资料，回归系数b与相关系数r的正负号一致。b＞0与r＞0，均表示两变量X、Y呈同向变化；同理，b＜0与r＜0，表示变化的趋势相反；③回归系数b与相关系数r的假设检验等价。即对同一双变量资料，rbtt。由于相关系数较回归系数的假设检验简单，在实际应用中，常以相关系数的假设检验代替回归系数的假设检验；④用回归解释相关。由于决定系数总回归SSSSR/2，当总平方和固定时，回归平方和的大小决定了相关的密切程度，回归平方和越接近总平方和，则2R越接近1，说明引入相关的效果越好。例如，当r=0.20，n=100时，按检验水准0.05拒绝0H，接受1H，认为两变量有相关关系。但 2R=0.202=0.04，表示回归平方和在总平方和中仅占4％，说明两变量间的相关关 系实际意义不大。

相关系数：指两个变量相关程度，
* i9 m3 l- d5 `" y$ w7 S) M/ Z回归系数：自变量变化一个单位应变量平均值变化的量
6 M6 Q- T/ T6 G' d; O

区别：相关系数是用来说明有线性相关的两个变量相关关系的密切程度和相关方向。回归系数b为回归直线的斜率，也是通过X推算Y的回归系数，表示当X变动（增加或减少）一个单位时，Y平均变动（增加或减少）b个单位。联系：对于既可作相关分析又可作回归分析的同一组资料，计算出的r与b正负号相同，同时假设检验等价，即tr=tb。除此之外，b=r.sy／sx

直线回归系数与相关系数的区别：
* R% t" a5 D4 R4 |0 h# H　　1.资料要求上
　　回归只要求Y服从正态分布，对X可以不要求；相关要求两变量均服从正态分布。
+ E; B1 \% `+ b1 S　　2.应用上
　　说明两变量间依存变化的数量关系用回归；说明两变量间的相关关系用相关。
　　3.意义上
　　回归系数b表示X每增（减）一个单位，Y平均改变b个单位；相关系数r说明具有直线关系的两个变量间相关关系的密切程度与相关方向。
4 j& ~8 D0 }+ ]5 O' A, C　　4.计算公式不一样
1 X- J" E( i- ~" P　　
) f* Y5 ^- H$ H( C5 M　　5.取值范围不一样：-∞＜b＜+∞，-1≤r≤1。
　　6.单位不同：b有单位，r没有单位。
回归系数b乘以X和Y变量的标准差之比结果为相关系数r。即b*σx/σy=r
1 O( D8 e8 F& T2 I# N　回归系数与相关系数的联系：
　　1.对一组数据若能同时计算b和r，它们的符号一致。
　　2.b和r的假设检验是等价的，即对同一样本tb＝tr。
7 {7 M. U/ f+ P  c) r! {( }" I; Q- R! m　　3.用回归可以解释相关
　　回归分析中有一个叫决定系数的指标，它的取值是在0～1之间的，决定系数值越接近1表明回归的效果越好。可以证明，相关系数r平方等于决定系数的值，用公式记为：
　　
1、相关系数与回归系数：
8 G: |8 g5 @, `5 j+ }0 A( V8 ?# bA 回归系数大于零则相关系数大于零 　　
B 回归系数小于零则相关系数小于零 　　（仅取值符号相同） 　　
2、回归系数：由回归方程求导数得到，所以，
5 m# ~* J% n2 h6 s回归系数>0，回归方程曲线单调递增； 　　
回归系数<0，回归方程曲线单调递j减； 　　
回归系数=0，回归方程求最值（最大值、最小值）
你的数据可能恰好体现出了你说的那种趋势，但是实际上相关系数和回归系数之间没有明确的大小变化关系，不能单独考虑某一个变量的回归系数的大小，要结合整个回归方程及拟合优度来分析模型。
+ o3 v# W1 c! J$ v+ Q在一组具有相关关系的变量的数据（x与Y）间，通过散点图可观察出所有数据点都分布在一条直线附近，这样的直线可以画出许多条，相关系数只能反映线性相关程度，不能确定因果关系，不能说明相关关系具体接近哪条直线，而我们希望其中的一条最好地反映x与Y之间的关系，即我们要找出一条直线，使这条直线“最贴近”已知的数据点，此时根据样本数据利用相应的估计方法估计出我们认为的最接近总体的回归方程的系数
: q2 w; e& C* `( k或者(个人理解)相关系数是说明，变量Y的增长是否随X的增长而体现出越加趋近于直线(这些直线可能是许多平行或相交但夹角很小的直线)的趋势，相关系数越大，说明越多的样本点(Xi，Yi)分布在同一条直线上，但是这种直线趋势不一定是完全由于变量X的变化引起的，也可能是由于存在某些没有考虑到的随机因素导致，仅次并不能完全的确定直线的位置，而回归系数是在假定了随机扰动的分布后，变量X的变化对Y的影响，所以说相关系数只是片面的说明两个变量之间相关关系密切程度的统计分析指标，而回归系数才是全面的反映变量之间的依存关系。

首先，相关系数与回归系数的方向，即符号相同。回归系数与相关系数的正负号都有两变量离均差积之和的符号业决定，所以同一资料的b与其r的符号相同。回归系数有单位，形式为（应变量单位/自变量单位）相关系数没有单位。相关系数的范围在-1～+1之间，而回归系数没有这种限制
# Z: Z& Q3 l" M" ~- K& W4 k第二，在回归中，应变量即Y是随x的改变而改变，而相关则是xy相互独立，可以做x与y的相关和y与x的相关是一致的，回归就不能这样做。相关表示两变量间的相互关系，是双方向的。而回归则表示Y随X而变化，这种关系是单方向的。医学资料中的有些资料用相关表示较适宜，比如兄弟与姐妹间的身长关系、人的身长与前臂长之间的关系等资料。另有些资料用相关和回归都适宜，此时须视研究需要而定。就一般计算程序来说，是先求出相关系数r并对其进行假设检验，如果r显著并有进行回归分析之必要，再建立回归方程。
& i9 S* Z; m, d- f! \
第三。一般来说，相关和回归的假设检验的结果是一致的。

/ s$ _; Q' W2 n; y8 S  x" O
回归系数（b）与相关系数（r）的区别：
) s" _7 Y' {$ a; l' d( f! j) y1.b表示X变化一个单位时Y的平均变化量；r说明具有直线关系的两个变量相互关系的方向和密切程度
2.b=lxy/lxx;r=lxy/√lxxlyy
& T& H: H4 N. ^# p: t$ x3.-∞＜b＜∞;-1≤r≤1
4.b有单位；r没有单位

3 N( d) ~: \, _% C  O		回归分析（回归系数b） * w4 L: Q* l$ w# S+ J	相关分析（相关系数r）
区别	资料要求不同	若 为可精确测量和严格控制的变量，则对应于每个 的 值要求服从正态分布； , ?" v- O$ b( i, i% r# m9 Q. l. z; [若 、 都是随机变量，则要求 、 服从双变量正态分布。	服从双变量正态分布
	应用目的不同	说明两变量间的数量变化关系用回归，用以说明 如何依赖于 的变化而变化 ) Z3 L: G: @! \	说明两变量间相关关系用相关，此时两变量的关系是平等的；
	指标意义不同	表示 变化一个单位时 的平均变化量	说明具有直线关系的两变量间相互关系的方向与密切程度；
	计算不同	；	，； % a- `! J( ]. l. m! E
	取值范围不同	； ; p& P7 ~0 a( Q. H7 H! h$ h	−1≤ ≤1
	单位不同：	有单位。   A8 G3 m6 ~8 f; }	没有单位， % J3 ~: ~/ C0 I) E* ^1 K9 a
联系		①  二者理论基础一致，皆依据于最小二乘法原理获得参数估计值； ②  对同一双变量资料，回归系数 与相关系数 的正负号一致。 ＞0与 ＞0，均表示两变量 、 呈同向变化；同理， ＜0与 ＜0，表示变化的趋势相反； ③  回归系数 与相关系数 的假设检验等价。即对同一双变量资料， 。由于相关系数较回归系数的假设检验简单，在实际应用中，常以相关系数的假设检验代替回归系数的假设检验； ④  用回归解释相关。由于决定系数 ，当总平方和固定时，回归平方和的大小决定了相关的密切程度，回归平方和越接近总平方和，则 越接近1，说明引入相关的效果越好。 , g2 {) }2 |; @* a( B8 M7 I& Q* E' g1 j4 Z

区别：(1)资料要求不同：直线回归中应变量y是来自正态总体的随机变量，而x既可以是来自正态总体中的随机变量，也可以是严密控制、精确测量的变量； 相关分析则要求x，y是来自双变量正态分布总体的随机变量。(2)分析目的不同：直线回归用于说明两变量间依存变化的数量关系；直线相关用于说明变量间的直线相关关系。

区别：(1)资料要求不同：直线回归中应变量y是来自正态总体的随机变量，而x既可以是来自正态总体中的随机变量，也可以是严密控制、精确测量的变量； 相关分析则要求x，y是来自双变量正态分布总体的随机变量。(2)分析目的不同：直线回归用于说明两变量间依存变化的数量关系；直线相关用于说明变量间的直线相关关系。

一、区别