生存分析（二十二）

 

上篇博文中，小胖把抽彩票和Cox PH model相对应起来了，现在我们再进一步解释一下：

 

Patient	TIME	STATUS	FAMILY
001	1	1	0
002	2	1	1
003	3	0	0
004	4	1	1

 

注：TIME：生存时间

STATUS ：1 代表死亡 0代表censoring

FAMILY:  家族史 1代表有 0代表无

 

根据上边这个例子，我们可以建立下面这个Cox PH model：

 

h(t)=h₀(t)*exp(β₁*FAMILY)

 

那么受试者的hazard如下：

 

Patient	HAZARD
001	h0(t)*exp(0)
002	h0(t)*exp(β1)
003	h0(t)*exp(0)
004	h0(t)*exp(β1)

 

从上边这个表可以看出，受试者的hazard取决于是否有家族史。

 

下边我们来看一下似然函数的构建思路：

 

TIME=1年时，所有4个病人都有可能死亡，因此001病人死亡的概率应该为001病人的hazard除以所有4个病人的hazard的总和，即[h₀(t)*exp(0)]/[h₀(t)*exp(0)+ h₀(t)*exp(β₁)+ h₀(t)*exp(0)+ h₀(t)*exp(β₁)]；TIME=2年时，由于001病人在1年时死掉了，因此这时只剩下3个病人，这时002病人死亡的概率应该为002病人的hazard除以002，003和004三个病人hazard的总和，即[h₀(t)*exp(β₁)]/[ h₀(t)*exp(β₁)+ h₀(t)*exp(0)+ h₀(t)*exp(β₁)]； 003病人在TIME=3年时censoring，而在TIME=4年时，只剩下004一个病人了，那么此时004病人死亡的概率为004病人的hazard除以自己一个人的hazard，即[h₀(t)*exp(β₁)]/ [h₀(t)*exp(β₁)]。因此最后似然函数为：

 

L＝{[h₀(t)*exp(0)]/[h₀(t)*exp(0)+ h₀(t)*exp(β₁)+ h₀(t)*exp(0)+ h₀(t)*exp(β₁)]} ×[h₀(t)*exp(β₁)]/[ h₀(t)*exp(β₁)+ h₀(t)*exp(0)+ h₀(t)*exp(β₁)] ×[h₀(t)*exp(β₁)]/ [h₀(t)*exp(β₁)]

 

上边似然函数为三个项目的乘积：

 

L=L₁×L₂×L₃

 

L₁＝[h₀(t)*exp(0)]/[h₀(t)*exp(0)+ h₀(t)*exp(β₁)+ h₀(t)*exp(0)+ h₀(t)*exp(β₁)]

L₂＝[h₀(t)*exp(β₁)]/[ h₀(t)*exp(β₁)+ h₀(t)*exp(0)+ h₀(t)*exp(β₁)]

L₃＝[h₀(t)*exp(β₁)]/ [h₀(t)*exp(β₁)]

 

而这L₁  L₂  L₃对应的则是三个排序的死亡时间点（1，2和4年），而这三个项中分子为在这个时间点死亡的受试者的hazard，分母为这个时间点时剩下的所有受试者的hazard的总和。

 

因此，Cox PH model的构建是基于observed order of events，而不是基于events的分布，因此从这个意义上来说，Cox PH model的参数估计其实是partial likelihood.

 

通过上边思路的叙述，大家这时可以和抽彩票例子结合起来理解了吧。。。